Question

1．在（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展开式中，x⁴项的系数为180．

Answer 1

分析 （2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展开式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（2+\sqrt{x}）^{r}（-\frac{1}{{x}^{2006}}）^{10-r}$，必须10-r=0，解得r=10．T₁₁=${∁}_{10}^{10}$$（2+\sqrt{x}）^{10}$，再利用$（2+\sqrt{x}）^{10}$的通项公式即可得出．

解答 解：（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展开式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（2+\sqrt{x}）^{r}（-\frac{1}{{x}^{2006}}）^{10-r}$，
必须10-r=0，解得r=10．
∴T₁₁=${∁}_{10}^{10}$$（2+\sqrt{x}）^{10}$，
$（2+\sqrt{x}）^{10}$的通项公式T_k+1=${∁}_{10}^{k}{2}^{10-k}（\sqrt{x}）^{k}$=2^10-k${∁}_{10}^{k}$${x}^{\frac{k}{2}}$，
令$\frac{k}{2}$=4，解得k=8．
∴在（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展开式中，x⁴项的系数为1×${2}^{2}{∁}_{10}^{8}$=180
故答案为：180．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．