Question

11．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）求证：f（-$\frac{a}{2}$+1）≤f（a²+$\frac{5}{4}$）；
（2）①求：f（1）+f（3）-2f（2）； 
②求证：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用函数的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，函数在（-$\frac{a}{2}$，+∞）上单调递增，即可证明结论；
（2）①根据函数f（x）的解析式，分别将x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），进而求得f（1）+f（3）-2f（2）；
②“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明，用反证法．

解答 证明：（1）函数的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，函数在（-$\frac{a}{2}$，+∞）上单调递增．
∵a²+$\frac{5}{4}$-（-$\frac{a}{2}$+1）=（a+$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴a²+$\frac{5}{4}$≥-$\frac{a}{2}$+1
∴f（-$\frac{a}{2}$+1）≤f（a²+$\frac{5}{4}$）；
（2）①∵f（x）=x²+ax+b，
∴f（1）=1+a+b，f（2）=4+2a+b，f（3）=9+3a+b
∴f（1）+f（3）-2f（2）=（1+a+b）+（9+3a+b）-2（4+2a+b）=2；
②假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于$\frac{1}{2}$，
则：|f（1）|＜$\frac{1}{2}$，|f（2）|＜$\frac{1}{2}$，|f（3）|＜$\frac{1}{2}$，
即有-$\frac{1}{2}$＜f（1）＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$＜f（2）＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$＜f（3）＜$\frac{1}{2}$，
∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由（1）可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．

点评 反证法是一种从反面的角度思考问题的证明方法，体现的原则是正难则反．反证法的基本思想：否定结论就会导致矛盾，证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”．