Question

2．直线SC⊥面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=1，SA=2，E为SA中点，F为点C在线BS上的射影．
（Ⅰ）求证：CF⊥面SAB；
（Ⅱ）求三棱锥S-CEF的体积；
（Ⅲ）求面CEF与面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）利用体积转化法，进行转化，结合三棱锥的体积公式进行求解．
（Ⅲ）建立空间坐标系，利用向量法即可求面CEF与面ABC所成锐二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵SC⊥面ABC，SC?平面SBC，
∴平面SBC⊥面ABC，
∵AB⊥BC，
∴AB⊥平面SBC，
又∵CF?平面SBC，
∴AB⊥CF，
∵F为点C在线BS上的射影，
∴CF⊥SB，
又∵SB∩AB=B，
∴CF⊥面SAB；
（Ⅱ）取SB的中点M，
∵E为SA中点，
∴EM∥AB，EM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∵AB⊥平面SBC，
∴EM⊥平面SBC，
则EM是三棱锥E-SCF的高，
∵AB=BC=1，SA=2
∴AC=$\sqrt{2}$，SC=$\sqrt{2}$，SB=$\sqrt{3}$
∵SB•CF=SC•BC，
∴CF=$\frac{SC•BC}{SB}$=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，SF=$\sqrt{S{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则△SCF的面积S_△SCF=$\frac{1}{2}$×SC×CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
则三棱锥S-CEF的体积V=V_E-SCF=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{18}$
（Ⅲ）建立以B为坐标原点，BC，BA，垂直于ABC的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图
则C（1，0，0），A（0，1，0），S（1，0，$\sqrt{2}$），B（0，0，0），E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
F（$\frac{1}{3}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
则平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{CF}$=（-$\frac{2}{3}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CF}$=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{\sqrt{2}}{3}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CE}$=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$z=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+\sqrt{2}z=0}\\{-2x+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，则x=1，y=-1，即$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{1×\sqrt{1+1+2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则面CEF与面ABC所成锐二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，三棱锥体积的计算，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．综合性较强，运算量较大．