Question

10．已知函数f（x）=3sin（${\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}}$），
（1）若点P（1，-$\sqrt{3}$）在角α的终边上，求$f（2α-\frac{π}{3}）$的值；
（2）若x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα的值，可得f（2α-$\frac{π}{3}$）的值．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3sin（${\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}}$），点$P（1，-\sqrt{3}）$在角α的终边上，∴$sinα=\frac{{-\sqrt{3}}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-\sqrt{3}）}^2}}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴f（2α-$\frac{π}{3}$）=3sin（α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=3sinα=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵$x∈[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，∴$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$-\frac{3}{2}≤3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）≤3$，即 函数的值域为$[-\frac{3}{2}，3]$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．