Question

18．若${\vec e_1}$，${\vec e_2}$是夹角为60°的两个单位向量，则$\vec a$=2${\vec e_1}$+${\vec e_2}$；$\vec b$=-3${\vec e_1}$+2${\vec e_2}$的夹角为（　　）

• A． 60°
• B． 30°
• C． 150°
• D． 120°

Answer 1

分析 由条件即可得到$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$，进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$，及${\overrightarrow{a}}^{2}=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}，{\overrightarrow{b}}^{2}=（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}$的值，从而根据$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$即可求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据条件，$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$
=$-6{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=$-6+\frac{1}{2}+2$
=$-\frac{7}{2}$；
${\overrightarrow{a}}^{2}=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}$=$4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=4+2+1，${\overrightarrow{b}}^{2}=（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}$=$9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=9-6+4=7；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$
=$-\frac{1}{2}$；
又$0°≤\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤180°$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
故选：D．

点评 考查单位向量的概念，向量夹角的概念及范围，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，已知三角函数求角．