Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AC₁=B₁C=B₁C₁=2，AC⊥AC₁，B₁C⊥B₁C₁，O为CC₁的中点．
（1）求证：BB₁⊥AB₁；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，求平面ABC与平面AOB₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面面垂直的判定定理证明BB₁⊥平面AOB₁即可
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法结合二面角的余弦值求出F的位置即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AC=AC₁=B₁C=B₁C₁=2，AC⊥AC₁，B₁C⊥B₁C₁，O为CC₁的中点，
∴AO⊥CC₁，OB₁⊥CC₁，
又∵AO∩OB₁=O，
∴CC₁⊥平面AOB₁，
∵BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面AOB₁，
∵AB₁?平面AOB₁，
∴BB₁⊥AB₁；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，则AB₁=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{4}=2$，
∵AO=B₁O=$\sqrt{2}$，
∴AO²+B₁O²=2+2=4=（AB₁）²，
∴△AOB₁是直角三角形，
则AO⊥OB₁，
建立以O为坐标原点，OC，OB₁，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则平面AOB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则A（0，0，$\sqrt{2}$），C（$\sqrt{2}$，0，0），B（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
则$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，0，-$\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$z=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即平面ABC与平面AOB₁所成二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的性质定理以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．