Question

12．设抛物线C：x²=4y的焦点为F，斜率为k的直线l经过点F，若抛物线C上存在四个点到直线l的距离为2，则k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{3}$，-1）∪（1，$\sqrt{3}$）
• C． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 斜率为k的直线l的方程为y=kx+1，设与直线l平行的直线方程为kx-y+b=0，由两条平行线间的距离公式可得$\frac{|b-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，只需要考虑直线的下方，满足条件的直线与抛物线有两个交点即可．

解答 解：由题意，斜率为k的直线l的方程为y=kx+1，
设与直线l平行的直线方程为kx-y+b=0，由两条平行线间的距离公式可得$\frac{|b-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
∴b=1±2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
取直线kx-y+1-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，即y=kx+1-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
代入抛物线C：x²=4y，整理可得x²-4kx-4+8$\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，
∴△=16k²+16-32$\sqrt{{k}^{2}+1}$＞0，
∴k²+1-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$＞0，
∴$\sqrt{{k}^{2}+1}$＞2，
∴k$＜-\sqrt{3}$或k$＞\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查两条平行线间的距离公式，正确转化是关键．