Question

【题目】已知函数.

（1）当时，证明：在定义域上为减函数；

（2）若时，讨论函数的零点情况.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当时，函数没有零点； 当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

【解析】

试题分析：（1）先求函数的定义域，再求函数的导数，令令，则，由此可得，即即，，可证结论成立；（2），构造函数，求函数的导数，由导数研究函数的单调性，画出函数的图象，数形结合零点情况.

试题解析： （1）由题意可知函数的定义域为

.

令，则，

当时，；当时，；

∴，即，

∴，∴在定义域上为减函数.

（2）函数的零点情况，即方程的根情况，

∵，∴方程可化为，

令，则，

令，可得，

当时，；当时，；

∴，且当时，；当时，.

∴的图象大致如图示：

当时，方程没有根，

当或时，方程有一个根，

当时，方程有两个根.

∴当时，函数没有零点；

当或时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点.