Question

13．给出下列四个命题：
①若x＞0，且x≠1，则lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2； 
②f（x）=lg（x²+ax+1），定义域为R，则-2＜a＜2；
③函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一条对称轴是直线x=$\frac{5}{12}$π；
④若x∈R，则“复数z=（1-x²）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”必要不充分条件．
其中，所有正确命题的序号是  ②．

Answer 1

分析 对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①若0＜x＜1，则lgx+$\frac{1}{lgx}$≤-2，故错误； 
②f（x）=lg（x²+ax+1），定义域为R，则△=a²-4＜0，∴-2＜a＜2，正确；
③x=$\frac{5}{12}$π时，y=cos（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=0，∴函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一条对称轴是直线x=$\frac{5}{12}$π，不正确；
④若复数z=（1-x²）+（1+x）i为纯虚数，则$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}=0}\\{1+x≠0}\end{array}\right.$，解得：x=1，∴lg|x|=lg1=0，是充分条件，
若lg|x|=0，则：x=±1，x=1时，复数z是纯虚数，x=-1时，z=0，不满足条件，不是必要条件，∴x∈R，则“复数z=（1-x²）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”充分不必要条件，不正确．
故答案为：②．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．