Question

18．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-x，}&{x≤0}\\{\sqrt{4-{x}^{2}，}}&{0＜x≤2}\end{array}\right.$，则${∫}_{-2}^{2}$f（x）dx的值为π+10．

Answer 1

分析 根据分段函数得到${∫}_{-2}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-2}^{0}$（4-x）dx+${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，分别根据定积分的计算法则和定积分的几何意义即可求出．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-x，}&{x≤0}\\{\sqrt{4-{x}^{2}，}}&{0＜x≤2}\end{array}\right.$，
则${∫}_{-2}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-2}^{0}$（4-x）dx+${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，
其中${∫}_{-2}^{0}$（4-x）dx=（4x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{-2}^{0}$=0-（-8-2）=10，
${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，即${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=π，
故${∫}_{-2}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-2}^{0}$（4-x）dx+${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=π+10，
故答案为：π+10

点评 本题考查了分段函数，以及定积分的计算法则和定积分的几何意义，属于中档题．