Question

9．若在区间[-1，5]上任取一个数b，则函数f（x）=（x-b-1）e^x在（3，+∞）上是单调函数的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 利用几何概型的公式，首先求出满足函数f（x）=（x-b-1）e^x在（3，+∞）上是单调函数的x范围，利用区间长度比求概率．

解答 解：因为函数f（x）=（x-b-1）e^x在（3，+∞）上是单调函数，所以f'（x）≥0在（3，+∞）上恒成立，即x-b≥0，所以x≥b，所以b≤3，
所以在区间[-1，5]上任取一个数b，则函数f（x）=（x-b-1）e^x在（3，+∞）上是单调函数的概率为：$\frac{3-（-1）}{5-（-1）}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
故选C

点评 本题考查了几何概型的概率求法；前提将满足函数f（x）=（x-b-1）e^x在（3，+∞）上是单调函数的b的范围，依据恒成立问题求出，然后利用区间长度比求概率．