Question

14．设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知4S_n=a_n²+2a_n．
（1）求a₁级数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}前n项和为T_n，且b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，若λT_n＜n+（-1）ⁿ•36对n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用4S_n=a_n²+2a_n与4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1作差、整理得a_n+1-a_n=2，进而计算可得结论；
（2）通过裂项、并项相加可知T_n=$\frac{n}{n+1}$，进而问题转化为求f（n）=n+1+（-1）ⁿ•$\frac{（n+1）•36}{n}$的最小值，通过对n分奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n，
∴4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1，
两式相减得：4a_n+1=a_n+1²+2a_n+1-（a_n²+2a_n），
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵数列{a_n}的各项都为正数，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵4a₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁，
∴a₁=2或a₁=0（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵λT_n＜n+（-1）ⁿ•36对n∈N^*恒成立，
∴λ＜$\frac{n+（-1）^{n}•36}{{T}_{n}}$=n+1+（-1）ⁿ•$\frac{（n+1）•36}{n}$对n∈N^*恒成立，
记f（n）=n+1+（-1）ⁿ•$\frac{（n+1）•36}{n}$，
当n为偶数时，f（n）=n+1+$\frac{（n+1）•36}{n}$
=37+n+$\frac{36}{n}$
≥37+2$\sqrt{n•\frac{36}{n}}$=37+2•6=49，
当且仅当n=$\frac{36}{n}$即n=6时取等号；
当n为奇数时，f（n）=n+1-$\frac{（n+1）•36}{n}$
=n-$\frac{36}{n}$-35
≥1-$\frac{36}{1}$-35=-70；
综上所述，实数λ的取值范围为：（-∞，-70）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．