Question

10．已知数列{a_n}为等差数列，b_n=3^a_n．
（1）求证数列{b_n}为等比数列；
（2）若a₈+a₁₃=m，求b₁•b₂•b₃•…•b₂₀；
（3）若b₃•b₅=3⁹，a₄+a₆=3，求b₁•b₂•b₃•…•b_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义进行证明即可求；
（2）若a₈+a₁₃=m，根据等差数列的性质结合指数幂的运算法则即可求b₁•b₂•b₃•…•b₂₀；
（3）求出等差数列的首项和公差即可得到结论．

解答 证明：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=\frac{{3}^{{a}_{n}}}{{3}^{{a}_{n-1}}}={3}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}={3}^{d}$为常数，
故数列{b_n}为等比数列；
（2）∵b₁•b₂•b₃•…•b₂₀=3^a₁•3^a₂…3^a₁₀=3${\;}^{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{10}}$${\;}^{+…+{a}_{20}}$=${3}^{10（{a}_{8}+{a}_{13}）}$，
又a₈+a₁₃=m，
∴b₁•b₂•b₃•…•b₂₀=3^10m．
（3）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
由b₃•b₅=3⁹，a₄+a₆=3，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{5}=9}\\{{a}_{4}+{a}_{6}=3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=9}\\{2{a}_{1}+8d=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{27}{2}}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
∴S_n=a₁+…+a_n=-$\frac{3}{2}$n²+15n．
当n=5时，S_n有最大值$\frac{75}{2}$，b₁•b₂•…•b_n=3^a₁•3^a₂…3^a_n=3${\;}^{{S}_{n}}$，
∴当n=5时，b₁•b₂•…•b_n有最大值${3}^{\frac{75}{2}}$．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式和性质的应用，考查学生的运算能力．