Question

18．圆柱形金属饮料罐的容积为16πcm³，它的高是4cm，底面半径是2cm时可使所用材料最省．

Answer 1

分析 设圆柱的底面半径r，高h容积为v，则v=πr²h，h=$\frac{v}{π{r}^{2}}$，要求用料最省即圆柱的表面积最小，由题意可得S=2πr²+2πrh，配凑基本不等式的形式，从而求最小值，从而可求高与底面半径之比，再由体积，即可得到所求．

解答 解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，
则v=πr²h，即有h=$\frac{v}{π{r}^{2}}$，
用料为S=2πr²+2πrh=2π（r²+$\frac{v}{πr}$）
=2π（r²+$\frac{v}{2πr}$+$\frac{v}{2πr}$）≥2π•3$\root{3}{{r}^{2}•\frac{v}{2πr}•\frac{v}{2πr}}$
=6π•$\root{3}{\frac{{v}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
当且仅当r²=$\frac{v}{2πr}$，即r=$\root{3}{\frac{v}{2π}}$时S最小即用料最省．
此时h=$\frac{v}{π{r}^{2}}$=$\root{3}{\frac{4v}{π}}$，
∴$\frac{h}{r}$=2，
又由16π=πr²h，解得h=4，r=2．
故答案为：4，2．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，利用基本不等式的关键是要符合其形式，并且要注意验证等号成立的条件．