Question

已知函数f(x)＝x²＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．

Answer 1

(1) 或.(2)g (a)的值域为.

解析试题分析：(1)函数f(x)＝x²＋4ax＋2a＋6的值域为[0，＋∞)，意即这个二次函数的最小值为0，∴Δ＝0，
由此便可得a的值.
（2）函数f(x)＝x²＋4ax＋2a＋6的值均为非负数，说明这个二次函数的图象的顶点在x轴上或x轴的上方，∴Δ≤0, 由此可求出a的取值范围，从而求出g(a)＝2－a|a＋3|的值域.
试题解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a²－4(2a＋6)＝0, ∴2a²－a－3＝0, ∴或..
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，∴Δ＝8 (2a²－a －3)≤0, ∴－1≤a≤，∴a＋3＞0，
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a²－3a＋2＝－.
∵二次函数g (a)在上单调递减，
∴，即－≤g(a)≤4，∴g (a)的值域为.
考点：二次函数.