Question

设S_n表示数列{a_n}的前n项和．
（1）若{a_n}为等差数列，推导S_n的计算公式；
（2）已知{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2 an．求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）若{a_n}为等差数列，根据等差数列的求和公式即可推导S_n的计算公式；
（2）求出{a_n}的图象公式，利用累加法即可得到结论．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，则S_n=a₁+a₂+…+a_n=a₁+（a₁+d）+…+[a₁+（n-1）d]…（2分）
又S_n=a_n+（a_n-d）+…+[a_n-（n-1）d]，…（4分）
∴2S_n=n（a₁+a_n），…（6分）
∴Sn=

n(a1+an)

2

．  …（7分）
（2）由已知得a_n=n．
从而b_n+1=b_n+2ⁿ．
即b_n+1-b_n=2ⁿ…（9分）
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+…+2+1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．…（11分）
数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b₂+b₁=2-1+2²-1+…+2ⁿ-1=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的应用，考查学生的运算能力．