Question

若当x∈（-1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|-1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：对k+1的正负进行分类讨论，但k+1≥0时直接把绝对值去掉即可；当k+1＜0时根据图象数形结合．

解答： 解：要使x∈（-1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|-1（k∈R）恒成立
（1）当k+1≥0时，x+k+2≥0，
故命题化为：kx+k＜x+k+2-1，即kx＜x+1对x∈（-1，+∞）时恒成立，只要0≤k≤1即可如图（1）．

            图（1）
（2）当k+1＜0时，∵x∈（-1，+∞）时，∴x+1＞0，令t=x+1，则t∈（0，+∞）
故命题化为：kt＜|t+k+1|-1，对t∈（0，+∞）恒成立，再用x表示t
则命题化为：kx+1＜|x+k+1|，对x∈（0，+∞）恒成立，只要x∈（0，+∞）时，y=kx+1在y=|x+k+1|的上方
即可，如图（2）．只要-k-1≥1即可，∴k≤-2


          图（2）
综上，k的取值范围是（-∞，-2]∪[0，1]

点评：本题考查含有绝对值的恒成立问题，属于高难题目．