Question

(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面
ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP=AB，
BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积V；
(Ⅲ)求二面角E-AD-C的大小.
 

Answer 1

(1)略
(2)
(3) 45°

解：(Ⅰ)∵E，F分别是PB，PC的中点
∴EF∥BC      ……………………1分
∵BC∥AD
∴EF∥AD      ……………………2分
∵AD平面PAD,EF平面PAD
∴EF∥平面PAD ……………………4分
(Ⅱ)(法1)∵AP=AB,BP=2,AP⊥平面ABCD
∴AB=AP=   ……………………5分
∵S矩形ABCD=AB·BC=2
∴VP-ABCD=S矩形ABCD·PA=…6分
∴V=VP-ABCD=  ………………8分
(Ⅱ)(法2)连接EA,EC,ED,过E作EG∥PA交AB
于点G
则EG⊥平面ABCD,且EG=PA ………5分
∵AP=AB,PAB=90°,BP=2
∴AP=AB=,EG=      ………6分
∵S矩形ABCD=AB·BC
=2
∴V=S矩形ABCD·EG
=       ……………………8分
(Ⅲ)∵PA⊥平面ABCD
∴AD⊥PA
∵ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∵AP∩AB=A
∴AD⊥平面ABP
∵AE平面ABP
∴AD⊥AE
∴∠BAE为所求二面角的平面角……11分
∵△ABP是等腰直角三角形，E是PB中点
∴所求二面角为45° ………………12分