【题目】如图，在三棱锥
中， 
， 
， 
为
的中点.
（1）求证： 
；
（2）设平面
平面
， 
， 
，求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】（1）见解析;（2）
.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得证得
平面
，然后利用线面垂直的判断定理即可证得
；
(2)由题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得面角
的平面角的正弦值是
.
试题解析：
（1）设
中点为
，连接
， 
，
因为
，所以
，
又
为
的中点，
所以
.
因为
，所以
，
因为
，所以
平面
，又
平面
，
所以
（2）由（1）知
，
因为平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，又
.
以
为坐标原点，分别以
， 
， 
为
轴， 
轴， 
轴的正方向建立空间直角坐标系
，如图所示，
因为
， 
， 
，所以
，
由
为
中点， 
， 
，得
， 
，
则， 
， 
， 
， 
， 
， 
设平面
的一个法向量为
，
由
，即
取
，可得
，
因为平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
∴
，
设二面角
的大小为
，则
所以
，
∴二面角
的平面角的正弦值为
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为
.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为
，每次中奖均可获奖金400元.
（1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金
（元）的分布列；
（2）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
，分数在80以上（含80）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）
（Ⅰ）求所抽取样本的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）填写下面的
列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
附表及公式：
，其中
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知曲线
的极坐标方程为
，在以极点为直角坐标原点
，极轴为
轴的正半轴建立的平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，设曲线
经过伸缩变换
： 
得到曲线
，若
为曲线
上任意一点，求点
到直线
的最小距离.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了调查某高中学生每天的睡眠时间，随即对20名男生和20名女生进行问卷调查.
（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“睡眠严重不足”的概率；
（2）完成下面
列联表，并回答是否有
的把握认为“睡眠时间与性别有关”？
参考公式： 
， 
临界表值：
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：
设实系数一元二次方程
……①
在复数集
内的根为
， 
，则方程①可变形为
，
展开得
.……②
比较①②可以得到： 
类比上述方法，设实系数一元
次方程
（
且
）在复数集
内的根为
， 
，…， 
，则这
个根的积
__________．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
, 
.
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅲ）当
时，函数
在
上的最大值为
，若存在
，使得
成立，求实数b的取值范围.
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