Question

【题目】在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）

A.若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线

B.若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆

C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆

D.若点P到直线AD与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.

A.在正方体中，平面，

所以，所以平面，

平面，所以，

同理，所以平面，

而点P在侧面所在的平面上运动，且，

所以点的轨迹就是直线，故A正确；

B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，

即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，

球心到平面的距离为1，则，

所以小圆周长，故B正确；

C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，

即平面内的点满足，

即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确；

D.如图，过分别做于点，于点，

则平面，所以，过做，连结，

，所以平面，所以，

如图建立平面直角坐标系，设，

，则，，

即，整理为：，

则动点的轨迹是双曲线，故D正确.

故选：ABD