Question

14．设关于x的不等式|x-2|＜a（a∈R）的解集为A，且$\frac{3}{2}$∈A，-$\frac{1}{2}$∉A．
（1）对任意的x∈R，|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，且a∈N，求a的值．
（2）若a+b=1，a，b∈R⁺，求$\frac{1}{3b}$+$\frac{b}{a}$的最小值，并指出取得最小值时a的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{3}{2}$∈A，-$\frac{1}{2}$∉A可得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{5}{2}$，再由绝对值不等式的性质可得|x-1|+|x-3|的最小值为2，结合恒成立思想，可得a²+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；
（2）由条件可得$\frac{1}{3b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{a+b}{3b}$+$\frac{b}{a}$，运用基本不等式求出最小值，同时求出取等号的a的值．

解答 解：（1）关于x的不等式|x-2|＜a（a∈R）的解集为A，且$\frac{3}{2}$∈A，-$\frac{1}{2}$∉A，
则a＞|$\frac{3}{2}$-2|且a≤|-$\frac{1}{2}$-2|，即有$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{5}{2}$，①
?x∈R，|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2，即有
|x-1|+|x-3|的最小值为2，
?x∈R，|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，即有
a²+a≤2，解得-2≤a≤1，②
由①②可得$\frac{1}{2}$＜a≤1，
由a∈N，则a=1；
（2）若a+b=1，a＞0，b＞0，
则$\frac{1}{3b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{a+b}{3b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{3}$+（$\frac{a}{3b}$+$\frac{b}{a}$）
≥$\frac{1}{3}$+2$\sqrt{\frac{a}{3b}•\frac{b}{a}}$=$\frac{1+2\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当$\frac{a}{3b}$=$\frac{b}{a}$，即a=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，b=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$时，
取得最小值，且为$\frac{1+2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．