Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．
（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；
（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）通过已知条件求出直线MN的方程，直线MN是直线系，即可得到直线过的定点，问题得到证明；
（2）求出以AB和CD为直径的圆的方程，然后求两圆相交弦的直线方程，说明公共弦过原点O．∠OHT=90°．
得到点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点）即可．

解答：解：（1）设AB斜率为k，将AB方程与抛物线方程联立，求得M(

k2+2

k2

，

2

k

)，将k换为-

1

k

得N（2k²+1，-2k），由两点式得MN方程为（1-k²）y=k（x-3），则直线MN恒过定点T（3，0）；…（7分）
（2）由抛物线性质，以AB、CD为直径的⊙M、⊙N的半径分别为x_M+1，x_N+1，于是可得两圆方程分别为(x-xM)2+(y-yM)2=(xM+1)2和(x-xN)2+(y-yN)2=(xN+1)2，
两式相减可得其相交弦所在直线方程为
（x_M-x_N）x+（y_M-y_N）y=

1

2

(yM2-yN2)-(xM-xN)=

1

2

(

4

k2

-4k2)-(

2

k2

-2k2)=0，
则公共弦过原点O．所以∠OHT=90°．
于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点），
其轨迹方程为(x-

3

2

)2+y2=

9

4

(y≠0)…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．