Question

【题目】已知椭圆E：的焦点在x轴上，抛物线C：与椭圆E交于A，B两点，直线AB过抛物线的焦点．

（1）求椭圆E的方程和离心率e的值；

（2）已知过点H（2，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，又过M、N作抛物线C的切线l1，l2，使得l1⊥l2，问这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用抛物线的方程求出点的坐标，代入椭圆的方程，即可求得的值，进而得到离心率的值；

（2）设直线 的方程为，由抛物线的方程得，则，所以切线的斜率分别为，，有题设条件得，再由直线的方程和抛物线的方程联立，利用韦达定理，得，即可求得，得到直线的方程.

（1）∵x2＝2py，∴，∴代入得

∴代点A到得t＝4．

∴椭圆E：，a＝2，b＝1，∴，∴离心率．

（2）依题意，直线l的斜率必存在，

设直线l的方程为y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．

因为所以

所以切线l1，l2的斜率分别为，．

当l1⊥l2时，，即x1x2＝－2．

由得，

所以，解得．

又恒成立，

所以存在直线l的方程是，即