Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的极值点个数；

（2）若有两个极值点，试判断与的大小关系并证明.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2），详见解析

【解析】

（1）由已知令，得，记，则函数的极值点个数转化为函数与y＝2a的交点个数，再利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，且，对a分情况讨论，即可得到函数的极值点个数情况；
（2）由已知令，可得，记，利用导数得到的单调性，可得，当时，，所以当即时有2个极值点，从而得到，所以，即．

解：（1），

令，得，记，则，

令，得；令，得，

∴在上是增函数，在上是减函数，且，

∴当即时，无解，∴无极值点，

当即时，有一解，，即，

恒成立，无极值点，

当，即时，有两解，有2个极值点，

当即时，有一解，有一个极值点.

综上所述：当，无极值点；时，有2个极值点；

当，有1个极值点；

（2），,

令，则，,

记，则,

由得，由，得，

在上是增函数，在上是减函数,

，当时，,

∴当即时,

有2个极值点,

由,

得,

,

不妨设则，,

又在上是减函数,

,

,

.