Question

13．已知双曲线2x²-3y²-6=0，若它的一条弦AB被直线y=kx（k≠0）平分，则弦AB的斜率为$\frac{2}{3}$k．

Answer 1

分析 设AB的斜率为k′，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），中点坐标（x₀，y₀）把A，B代入双曲线方程两式想减整理可得$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{3}{2}$k′，根据AB的中点在直线y=kx上，代入得y₀=kx₀，进而求得k和k′的关系．

解答 解：设AB的斜率为k′，
则A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），中点坐标（x₀，y₀）
x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）
由题意：2x₁²-3y₁²=6，2x₂²-3y₂²=6
两式相减，整理得：
2（x₁+x₂）（x₁-x₂）=3（y₁+y₂）（y₁-y₂）
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{3（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}$，
即$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{3}{2}$k′
∵AB的中点在直线y=kx上，代入得y₀=kx₀，
∴$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=k
∴k′=$\frac{2}{3}$k．
故答案为：$\frac{2}{3}$k．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及了直线的斜率问题，直线方程问题，考查了学生对所学知识综合性的把握．