Question

2．若方程$\frac{1}{3}{x^3}$-4x+4=k有3个解，求实数k的取值范围（-$\frac{4}{3}$，$\frac{28}{3}$）．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，求出f（x）的单调性和极值，则k介于f（x）的极大值与极小值之间．

解答 解：设f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，则f′（x）=x²-4，
∴当x＜-2或x＞2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴当x=-2时，f（x）取得极大值f（-2）=$\frac{28}{3}$，当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=-$\frac{4}{3}$．
∵方程$\frac{1}{3}{x^3}$-4x+4=k有3个解，
∴-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{28}{3}$．
故答案为：（-$\frac{4}{3}$，$\frac{28}{3}$）．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的关系，函数单调性与函数极值，属于中档题．