Question

12．（1）若函数f（x）=lnx-ax有极值，则函数f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{a}$）；
（2）若函数g（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x有极值，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，由题意得到a＞0，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间；
（2）求出函数的导数，问题转化为y=lnx和y=ax有交点，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的具体范围即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若函数f（x）=lnx-ax有极值，
则a＞0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{a}$）；
（2）解：f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x的定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax，
若函数f（x）有极值，则f′（x）=lnx-ax有解，
即y=lnx和y=ax有交点，
①a＜0时，显然有解，
②a＞0时，设y=lnx和y=ax相切的切点是（x₀，lnx₀），
∴切线方程是：y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x，故lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀，
解得：x₀=e，
∴y=lnx和y=ax相切时，a=$\frac{1}{e}$，
若y=lnx和y=ax有交点，
只需a＜$\frac{1}{e}$，
综上：a＜$\frac{1}{e}$，
故答案为：（-∞，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．