Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1-a+lnx}{x}$，a∈R．
（1）求f（x）的极值；
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）当正整数n＞8时，比较${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$与${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可求解；
（2）对lnx-kx＜0分离k，变形移向得出$\frac{lnx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立．构造函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$，只需g（x）max＜k．转化为求g（x）的最大值；
（3）设a=${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$，b=${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$，分别取对数，根据前两问研究的g（x）的单调性，判断出 $\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＞$\frac{ln\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}$＞0，进而得出a＞b．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=e^a，
当x∈（0，e^a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e^a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a．
（2）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需$\frac{lnx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，只需g（x）_max＜k．
g（x）=$\frac{lnx}{x}$是题干中a=1时情形，
由（1）知，g（x）有最大值为f（e）=$\frac{1}{e}$．
所以k＞$\frac{1}{e}$．
（3）设a=${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$，b=${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$，
则lna=$\sqrt{n+1}$ln$\sqrt{n}$，lnb=$\sqrt{n}$ln$\sqrt{n+1}$，$\frac{lna}{lnb}$=$\frac{\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\frac{ln\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}}$，
考察函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$，由（1）可知，g（x）在（e，+∞）为减函数，
当正整数n＞8时，$\sqrt{n}$，$\sqrt{n+1}$∈（e，+∞），
所以g（$\sqrt{n}$）＞g（$\sqrt{n+1}$），即 $\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＞$\frac{ln\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}$＞0，
即有$\frac{lna}{lnb}$＞1，lna＞lnb，
等价于a＞b，即 ${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$＞${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$．

点评 本题是函数性质的综合应用，考查函数的单调性，最值的应用，涉及到分离参数的解题方法．能够将问题转化，联系到函数的性质，是达到较高水平的体现．