Question

16．已知函数f（x）=e^x-2x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，曲线y=x²恒在曲线y=e^x的下方；
（3）讨论函数g（x）=x²-ae^x（a∈R）零点的个数．
参考公式：a^log_aN=N（a＞0，a≠1，N＞0）

Answer 1

分析 （1）利用导数等于0，求出函数的极值；
（2）构造函数g（x）=e^x-x²，求出导数，利用（1）的结论得到导函数的符号，判断g（x）的单调性，从而得出结论；
（3）a=0时，显然求出，a≠0时，问题转化为y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²的交点个数，通过讨论a的范围结合（2），求出即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=e^x-2x（x∈R），
∴f′（x）=e^x-2；
令f′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
∴函数f（x）的极值是
f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
（2）证明：设函数h（x）=e^x-x²，
∴h′（x）=e^x-2x；
由（1）知f（x）=e^x-2x在x=ln2取得极小值，
∴h′（x）≥f（ln2）=e^ln2-ln2=2-ln2＞0，
∴h（x）是R上的增函数，
∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=1＞0，
∴e^x＞x²，即x²＜e^x；
∴当x＞0时，曲线y=x²恒在曲线y=e^x的下方；
（3）a=0时，g（x）=x²，函数g（x）有1个零点，
a≠0时，论函数g（x）=x²-ae^x（a∈R）零点的个数，
即讨论y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²的交点个数，
①a＜0时，y=$\frac{1}{a}$x²开口向下，和y=e^x无交点，即函数g（x）无零点；
②a＞0时，y=$\frac{1}{a}$x²开口向上，x＜0时与y=e^x1个交点，
下面讨论x＞0的情况，
由（2）得：$\frac{1}{a}$≤1即a≥1时，$\frac{1}{a}$x²＜e^x；
故0＜a＜1时，y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²有3个交点，g（x）有3个零点，
a≥1时，y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²有1个交点，g（x）有1个零点，
综上：a＜0时，函数g（x）无零点；a=0时，函数g（x）有1个零点，
0＜a＜1时，g（x）有3个零点，a≥1时，g（x）有1个零点．

点评 本题考查了导数的应用问题，也考查运算求解能力以及逻辑推理能力，考查了函数与方程思想的应用问题，是难题目．