Question

14．已知抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线过椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

Answer 1

分析 由抛物线方程求出其准线方程，得到椭圆的焦点坐标，结合已知及隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆方程可求．

解答 解：由抛物线y²=4$\sqrt{3}$x，得2p=$4\sqrt{3}$，p=$2\sqrt{3}$，
∵抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线过椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，
∴椭圆的一个焦点坐标为（$-\sqrt{3}$，0），即c=$\sqrt{3}$．
又椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a=2b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{a=2b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

点评 本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查了椭圆方程的求法，注意隐含条件的应用，是基础题．