Question

19．记f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀'（x），f₂（x）=f₁'（x），…，f_n（x）=f_n-1'（x），n∈N，则f₂₀₁₅（x）=（　　）

• A． sin x
• B． -sin x
• C． cos x
• D． -cos x

Answer 1

分析 由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，即可得到结论．

解答 解：由题意f₀（x）=sinx，
f₁（x）=f₀′（x）=cosx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f₂₀₁₅（x）=f₃（x）=-cosx
故选：D．

点评 本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．