Question

9．设二次函数f（x）=-x²+2ax+b，集合A={x|x²+x=0}，集合B={x|f（x）=5}，已知A∩B={0}．
（1）求b的值；
（2）求此二次函数f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用集合A={x|x²+x=0}，集合B={x|f（x）=5}，A∩B={0}．求b的值；
（2）分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，求此二次函数f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

解答 解：（1）∵A={0，-1}，A∩B={0}，
∴0∈B，
∴f（0）=b=5
由f（-1）≠5，得a≠-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可得f（x）=-x²+2ax+5，对称轴为x=a．
①a≤-2，f（x）在[-2，4]上为减函数，
∴x=-2时，f（x）_max=-4a+1；
①-2＜a＜4且a≠-$\frac{1}{2}$，x=a时，f（x）_max=a²+5；
③a≥4时，f（x）在[-2，4]上为增函数，
∴x=4时，f（x）_max=8a-11，
综上所述，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{-4a+1，a≤-2}\\{{a}^{2}+5，-2＜a＜4且a≠-\frac{1}{2}}\\{8a-11，a≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．