Question

1．已知函数f （ x ）=ln x和g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+a（其中a为常数），直线l与f （ x ） 和g （ x ）的图象都相切，且与f （ x ） 的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求l的方程和a的值；  
（Ⅱ）记h （ x ）=f （ x²+1）-g （ x ）-ln 2，求函数h （ x ） 的极大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1时的切线的斜率，由直线方程的点斜式求得切线方程，联立直线l与函数g（x），化为关于x的一元二次方程，利用判别式等于0求得a值；
（Ⅱ）把a值代入g（x）的解析式，进一步得到h （ x ）=f （ x²+1）-g （ x ）-ln 2，求其导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，从而求得函数的极大值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，l与f （x）图象相切的切点为（1，0），
而f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴k_l=1，
从而l：y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+a}\end{array}\right.$，得x²-2x+2a+2=0，
判别式△=（-2）²-4×（2a+2）=0，解得a=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）记h（x）=f （ x²+1）-g（x）-ln2，
则h（x）=ln （ x²+1）-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$-ln2 （x∈R），
$h'（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}-x=\frac{{x-{x^3}}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{-（x+1）x（x-1）}{{{x^2}+1}}$，
令h'（x）＜0，得（x+1）x（x-1）＞0，即-1＜x＜0或x＞1，
令h'（x）＞0，得（x+1）x（x-1）＜0，即x＜-1或0＜x＜1．
∴h（x）在（-1，0），（1，+∞）上为减函数，在（-∞，-1），（0，1）上为增函数．
∴x=-1及x=1时，函数h（x）取得极大值，h（-1）=h（1）=0．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，是中档题．