Question

13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的有①②③④
 （写出所有正确命题序号）．
    ①总存在某内角α，使cosα≤$\frac{1}{2}$；  
②若AsinB＞BsinA，则B＜A；
③若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的最小角小于$\frac{π}{6}$；
④若a＜tb（0＜t≤1），则A＜tB．

Answer 1

分析 ①可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；
②构造函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$（0＜x＜π），应用导数求单调性，从而得到B＜A，即可判断②；
③将$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，化简整理运用不共线结论，得到2a=b=c，再运用余弦定理求出cosA，即可判断；
④构造函数f（x）=tsinx-sin（tx），应用导数运用单调性得到tsinB＜sin（tB），又sinA＜tsinB，再根据和差化积公式，结合角的范围即可判断．

解答 解：①假设三个内角都小于60°，则三内角和必小于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角大于或等于60°，设为α，则cosα≤cos60°=$\frac{1}{2}$，故①正确；
②设函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$（0＜x＜π），则导数f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
若$\frac{π}{2}$≤x＜π，则f′（x）＜0，
又AsinB＞BsinA，即 $\frac{sinB}{B}$＞$\frac{sinA}{A}$⇒B＜A，
若0＜x＜$\frac{π}{2}$，则由于tanx＞x，
故f′（x）＜0，即有B＜A，故②正确；
③若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即2a（ $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）-b $\overrightarrow{AC}$+c $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即（2a-b） $\overrightarrow{AC}$=（2a-c） $\overrightarrow{AB}$，
由于 $\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$不共线，故2a-b=2a-c=0，即2a=b=c，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故最小角小于$\frac{π}{6}$，故③正确；
④若a＜tb（0＜t≤1），则由正弦定理得，sinA＜tsinB，
令f（x）=tsinx-sin（tx），则f′（x）=tcosx-tcos（tx），
由于0＜tx＜x＜π，则cos（tx）＞cosx，即f′（x）＜0，tsinx＜sin（tx）即tsinB＜sin（tB），
故有sinA＜sin（tB），即2cos $\frac{A+tB}{2}$sin $\frac{A-tB}{2}$＜0，
故有A＜tB，故⑤正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查正弦、余弦定理及应用，考查向量中这样一个结论：若a $\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共线）则a=b=0，还考查三角形中的边角关系以及构造函数应用单调性证明结论，属于综合题．