Question

8．已知二次函数y=f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，顶点坐标为（1，-1）．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，g（x）=f（x），画出g（x）的图象，并求g（x）的解析式；
（3）由图象指出g（x）的单调区间（不需要证明）．

Answer 1

分析 （1）由题意设f（x）=a（x-1）²-1，由f（0）=1，可得a的值，进而得到f（x）的解析式；
（2）由奇函数的定义，可求x＜0的g（x）的解析式，进而得到g（x）的解析式和图象；
（3）通过图象，即可得到增区间和减区间．

解答 解：（1）设f（x）=a（x-1）²-1，
∵f（0）=0，
∴a=1，
f（x）=x²-2x；
（2）当x＜0时，-x＞0，g（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又g（x）时奇函数，
∴g（x）=-g（-x）=-x²-2x，
∴$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x（x≥0）\\-{x^2}-2x（x＜0）\end{array}\right.$；
g（x）的图象如图所示：
（3）递增区间是（-∞，-1]和[1，+∞），递减区间是[-1，1]．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，以及函数的单调性和奇偶性的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．