Question

3．一条河的两岸平行，河水的流速为2m/s，一艘小船以10m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，求小船在静水中的速度大小．

Answer 1

分析 可作出图形：设河水的流速为$\overrightarrow{{V}_{1}}$，小船在静水中的速度为$\overrightarrow{{V}_{2}}$，船的实际速度为$\overrightarrow{V}$，根据题意便有$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{{V}_{1}}+\overrightarrow{{V}_{2}}$，$|\overrightarrow{{V}_{1}}|=2，|\overrightarrow{V}|=10$，并且$\overrightarrow{V}⊥\overrightarrow{{V}_{1}}$，而$\overrightarrow{{V}_{2}}=\overrightarrow{V}-\overrightarrow{{V}_{1}}$，并可求出$（\overrightarrow{V}-\overrightarrow{{V}_{1}}）^{2}$，从而便可求出$|\overrightarrow{{V}_{2}}|$，即求出小船在静水中的速度大小．

解答 解：解：设河水的流速为$\overrightarrow{{V}_{1}}$，小船在静水中的速度为$\overrightarrow{{V}_{2}}$，船的实际速度为$\overrightarrow{V}$，如图所示：
，
则$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{{V}_{1}}+\overrightarrow{{V}_{2}}$，$|\overrightarrow{{V}_{1}}|=2，|\overrightarrow{V}|=10$，且$\overrightarrow{V}⊥\overrightarrow{{V}_{1}}$；
∴$\overrightarrow{V}•\overrightarrow{{V}_{1}}=0$；
∴$|\overrightarrow{{V}_{2}}|=||\overrightarrow{V}-\overrightarrow{{V}_{1}}|$
=$\sqrt{{\overrightarrow{V}}^{2}-2\overrightarrow{V}•\overrightarrow{{V}_{1}}+{\overrightarrow{{V}_{1}}}^{2}}$
=$\sqrt{100-0+4}$
=$2\sqrt{26}$；
即小船在静水中的速度为$2\sqrt{26}$m/s．

点评 考查向量方法解决实际问题的方法，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算，向量垂直充要条件．