Question

11．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，D、E分别为棱CC₁、B₁C₁的中点，
（1）求A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（2）在线段AC上是否存在一点P，使得PE⊥平面A₁BD？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C，可证明BC⊥平面AA₁C₁C得出∠BA₁C为所求线面角；
（2）以C为原点建立坐标系，设CP=a，求出$\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{D{A}_{1}}$的坐标，令$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$解出a，根据a的大小作出结论．

解答 解：（1）连结A₁C，
∵CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，又BC⊥AC，AC?平面ACC₁A₁，CC₁?平面ACC₁A₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∴∠BA₁C为A₁B与平面ACC₁A₁所成的角．
∵AC=CC₁=BC=2，AC⊥BC，∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴A₁B=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BA₁C=$\frac{BC}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）以C为原点，以CB，CA，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，1），A₁（0，2，2），E（1，0，2），设P（0，a，0），
则$\overrightarrow{PE}$=（1，-a，2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，2，1），
假设PE⊥平面BDA₁，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2+2=0}\\{-2a+2=0}\end{array}\right.$，解得a=1．
∴当P为AC的中点时，PE⊥平面A₁BD．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．