Question

2．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且满足PE：ED=2：1，PA=AB=2，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°
（1）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，若存在，求出PF的长度．
（2）求二面角P-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于O，以O为原点建立坐标系，求出平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$，设$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CP}$，令$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{m}$=0解出λ即可得出F的位置；
（2）求出平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$，则-|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|为所求二面角的余弦值．

解答 解：（1）连结BD交AC于O，以O为原点，以OC，OD，
平面ABCD的过点O的垂线为坐标轴建立空间坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（0，-$\sqrt{3}$，0），C（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），P（-1，0，2）．
∴$\overrightarrow{CP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{BC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2）．
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DP}$=（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$），
设$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CP}$（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=（1-2λ，$\sqrt{3}$，2λ）．
设平面ACE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{\frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{m}$=（0，-1，$\sqrt{3}$）．
∵BF∥平面AEC，∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{m}=0$，
∴-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}λ$=0，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴当F为PC的中点时，BF∥平面AEC，此时，PF=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{2}$．
（2）设平面PAE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=0}\\{\frac{2}{3}a+\frac{2\sqrt{3}}{3}b+\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，令b=1得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{2×2}$=-$\frac{1}{4}$．
∵二面角P-AE-C为钝角，
∴二面角P-AE-C的余弦值为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，二面角的计算，空间向量的运用，属于中档题．