Question

10．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，侧棱AA₁⊥平面ABC，且D，E分别是棱A₁B₁，A₁A₁的中点，点F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB．
（1）求证：EF∥平面BDC₁；
（2）求三棱锥D-BEC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连接A₁O，利用中位线定理得EF∥A₁O，由四边形A₁DBO为平行四边形得出A${\;}_{{\;}_{1}}$O∥BD，故而EF∥BD，于是EF∥平面BDC₁；
（2）证明C₁D⊥平面AA₁B₁B，于是V${\;}_{D-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•{C}_{1}D$．

解答 解：（1）取AB的中点O，连接A₁O，
∵AF=$\frac{1}{4}$AB，
∴F为AO的中点，又E为AA₁的中点，
∴EF∥A₁O，
∵A₁D=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}$，BO=$\frac{1}{2}AB$，AB$\stackrel{∥}{=}$A₁B₁，
∴A₁D$\stackrel{∥}{=}BO$
∴四边形A₁DBO为平行四边形，
∴A₁O∥BD，
∴EF∥BD，又EF?平面BDC₁，BD?平面BDC₁，
∴EF∥平面BDC₁．
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁D，
∵A₁C₁=B₁C₁=A₁B₁=2，D为A₁B₁的中点，
∴C₁D⊥A₁B₁，C₁D=$\sqrt{3}$，
又AA₁?平面AA₁B${\;}_{{\;}_{1}}$B，A₁B₁?平面AA₁B${\;}_{{\;}_{1}}$B，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥平面AA₁B₁B，
∵AB=AA₁=2，D，E分别为A₁B₁，AA₁的中点，
∴S_△BDE=2²-$\frac{1}{2}×1×2$-$\frac{1}{2}×1×2$-$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{3}{2}$．
∴V${\;}_{D-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•{C}_{1}D$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．