Question

15．已知f（x）的导函数为f'（x），满足xf'（x）+2f（x）=$\frac{1}{x}$，且f（1）=2，则f（x）的最小值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 把已知等式两边同时乘以x，得到[x²f（x）]′=1，令x²f（x）=x+c，由f（1）=2求得c值，则函数解析式可求，然后利用二次函数求最值．

解答 解：∵xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{x}$，
∴x²f′（x）+2xf（x）=1，
∴[x²f（x）]′=1，
∴x²f（x）=x+c，
将x=1代入可得：
f（1）=1+c=2，得c=1，
∴x²f（x）=x+1，
∴f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}=\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
∴当$\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}$，即x=-2时，$f（x）_{min}=-\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是导数的运算，导数在求函数最值时的应用，关键是合理构造函数，是中档题．