Question

6．已知a，b，c是互不相等的非零实数，函数f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}+b{x^2}$+cx，g（x）=$\frac{b}{3}{x^3}+c{x^2}$+ax，h（x）=$\frac{c}{3}{x^3}+a{x^2}$+bx．利用反证法证明：f（x），g（x），h（x）这三个函数中，至少有一个函数存在极值．

Answer 1

分析 求出三个函数的导数，利用反证法结合二次函数的性质推出矛盾结论，即可证明．

解答 证明：f'（x）=ax²+2bx+c，g'（x）=bx²+2cx+a，h'（x）=cx²+2ax+b．
假设f（x），g（x），h（x）这三个函数都不存在极值，…（2分）
则这三个函数的导函数都不存在变号零点，
即：${△_1}=4{b^2}-4ac≤0，{△_2}=4{c^2}-4ab≤0，{△_3}=4{a^2}-4bc≤0$，…（6分）
所以${△_1}+{△_2}+{△_3}=4{b^2}-4ac+4{c^2}-4ab+4{a^2}-4bc≤0$，…（8分）
即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0，与a，b，c是互不相等的非零实数矛盾．
所以假设不成立，所以f（x），g（x），h（x）这三个函数中，至少有一个函数存在极值．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，反证法的应用，考查分析问题解决问题的能力．