Question

3．（1）证明不等式$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$（a＞0，b＞0）；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，求证|$\frac{a+b}{1+ab}}$|＜1．

Answer 1

分析 （1）根据均值定理直接证明即可；
（2）利用综合法证明：|a|＜1，|b|＜1，得出a²＜1，b²＜1，得出不等式（a²-1）（b²-1）＞0逐步得出结论．

解答 证明：（1）∵a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0），
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，当a=b时，等号成立；
（2）|a|＜1，|b|＜1，
故a²＜1，b²＜1
∴a²-1＜0，b²-1＜0
∴（a²-1）（b²-1）＞0
展开得：（ab）²+1＞a²+b²
∴（ab）²+1+2ab＞a²+b²+2ab
即（ab+1）²＞（a+b）²
∴|ab+1|＞|a+b|
∴|$\frac{a+b}{1+ab}}$|＜1．

点评 考查了均值定理和利用综合法证明不等式的方法，属于基础题型，应熟练掌握．