Question

8．已知函数f（x）=2sinxcosx-sin²x-3cos²x+1．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）在区间[0，a]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简f（x）为：$\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）-1$，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调增区间即可；
（2）令f（x）=0，求出函数的零点，通过函数y=f（x）在区间[0，a]上恰有3个零点，判断零点的值，然后求解a的范围．

解答 解：f（x）=sin2x+cos²x-3cos²x
=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1
=$\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）-1$．                                               （3分）
（1）因为$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
所以$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ$，
即增区间为$[{-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ}]（{k∈Z}）$（6分）
（2）令f（x）=0，即$sin（{2x-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}+2{k_1}π$或$2x-\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}+2{k_2}π$，
即$x=\frac{π}{4}+{k_1}π$或$x=\frac{π}{2}+{k_2}π$．
当k₁=0或1时，$x=\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$
当k₂=0或1时，$x=\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$．
因为函数y=f（x）在区间[0，a]上恰有3个零点，它们是$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{4}$，
所以$\frac{5π}{4}≤α≤\frac{3π}{2}$．                                         （12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的单调性以及函数的零点的公式的判断，考查转化思想以及计算能力．