Question

6．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（-$\frac{π}{2}$，0），且sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，则α-β的值为$\frac{5π}{4}$．

Answer 1

分析 根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α-β），根据α-β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），即可求得α-β的值．

解答 解：由α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（-$\frac{π}{2}$，0），sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴α-β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），cosα＜0，sinβ＜0，
cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
sinβ=-$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=-$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$-（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$），
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α-β=$\frac{5π}{4}$．
故答案为：$\frac{5π}{4}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．