Question

16．（1）已知函数f（2x-1）的定义域为[1，4]，求函数f（2^x）的定义域；
（2）求函数y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x＞0）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数f（2x-1）的定义域求得函数f（x）的定义域，再由2^x在f（x）的定义域内求得x的范围得答案；
（2）把已知函数解析式变形，然后利用基本不等式求解．

解答 解：（1）∵函数f（2x-1）的定义域为[1，4]，即x∈[1，4]，
∴2x-1∈[1，7]，则函数f（x）的定义域为[1，7]，
由1≤2^x≤7，得0≤x≤log₂7．
∴函数f（2^x）的定义域为[0，log₂7]；
（2）y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$1+\frac{4x}{{x}^{2}+1}$=$1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，
∵x＞0，
∴x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时等号成立，
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$，则$1＜1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}≤3$．
∴函数y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x＞0）的值域为（1，3]．

点评 本题考查函数的定义域和值域的求法，体现了极限思想方法的运用，是中档题．