Question

8．（Ⅰ）求证：lnx≥1-$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）利用数学归纳法证明：ln（n+1）＞$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}$（n∈N₊）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过构造函数，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值推出结果．
（Ⅱ）直接利用数学归纳法的证明步骤，结合分析法以及（1）的结论证明即可．

解答 证明：（Ⅰ）设$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，
则$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$．
所以当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
所以f（x）_min=f（1）=0，
所以$lnx≥1-\frac{1}{x}$．…（4分）
（Ⅱ）（1）当n=1时，不等式左边为ln2，右边为$\frac{1}{2}=ln\sqrt{e}$，显然$ln2＞ln\sqrt{e}$，所以左＞右；
…（6分）
（2）假设n=k（k∈N₊）时，有$ln（k+1）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}$，…（7分）
现欲证$ln（k+2）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}$，
只需证明$ln（k+1）＜ln（k+2）-\frac{1}{k+2}$，只需证明$ln（\frac{k+2}{k+1}）＞\frac{1}{k+2}=1-\frac{k+1}{k+2}=1-\frac{1}{{\frac{k+2}{k+1}}}$，
由（Ⅰ）可得x≠1时，恒有$lnx＞1-\frac{1}{x}$，因为$\frac{k+2}{k+1}≠1$，所以$ln（\frac{k+2}{k+1}）＞1-\frac{1}{{\frac{k+2}{k+1}}}$成立．
…（11分）
所以$ln（k+1+1）=ln（k+2）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+1+1}$
综合（1），（2）可得$ln（n+1）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}$（n∈N₊）成立．…（12分）

点评 本题考查反证法以及函数的导数的应用，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．