Question

19．?x₁∈R，?x₂∈[1，2]，使得x₁²+x₁x₂+x₂²≥3x₁+mx₂-3成立，则实数m的取值范围为$m≤\frac{27}{8}$．

Answer 1

分析 运用配方和二次函数的最值，可得mx₂-3-x₂²+$\frac{（{x}_{2}-3）^{2}}{4}$≤0，再由参数分离，可得4m-6≤3x₂+$\frac{3}{{x}_{2}}$在[1，2]有解，利用单调性求出右边的最大值，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：由x₁²+x₁x₂+x₂²≥3x₁+mx₂-3，
得x₁²+x₁（x₂-3）+$\frac{（{x}_{2}-3）^{2}}{4}$≥mx₂-3-x₂²+$\frac{（{x}_{2}-3）^{2}}{4}$，
即$（{x}_{1}+\frac{{x}_{2}-3}{2}）^{2}≥$mx₂-3-x₂²+$\frac{（{x}_{2}-3）^{2}}{4}$，
∴mx₂-3-x₂²+$\frac{（{x}_{2}-3）^{2}}{4}$≤0，
由于任意x₁∈R，存在x₂∈[1，2]，使不等式x₁²+x₁x₂+x₂²≥2x₁+mx₂+3成立，
则有（4m-6）x₂≤3x₂²+3，即有4m-6≤3x₂+$\frac{3}{{x}_{2}}$在[1，2]有解，
则4m-6≤3×2+$\frac{3}{2}$，解得m≤$\frac{27}{8}$．
故答案为：$m≤\frac{27}{8}$．

点评 本题考查函数的恒成立和有解的求法，考查函数的最值的求法，考查运算能力，属于难题．