Question

4．如图，在七面体ABCDEFGH中，底面ABCDEF是边长为2的正六边形，AG=DH=3，且
AG，DH都与底面ABCDEF垂直．
（Ⅰ）求证：平面ABG∥平面DEH；
（Ⅱ）平面BCHG与平面DEH所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直的性质可知AG∥平面DEH，由ABCDEF是正六边形，AB∥DE，根据线面平行的性质即可证明平面ABG∥平面DEH；
（Ⅱ）由题意建立空间直角坐标系，分别求得B，C，G点坐标，求得向量$\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{BG}$，分别求得平面BCHG与平面DEH的法向量，由cos＜$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{j}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{j}丨丨\overrightarrow{n}丨}$，根据同角三角三角函数的基本关系，即可求得平面BCHG与平面DEH所成二面角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）AG⊥平面ABCDEF垂直，DH⊥ABCDEF垂直．
∴AG∥DH，DH?平面DEH，AG?平面DEH，
∴AG∥平面DEH，
∵ABCDEF是正六边形，
所以AB∥DE，DE?平面DEH，AB?平面DEH，
∴AB相交于A点，
∴平面ABG∥平面DEH；
解：（Ⅱ）连接AE，AE⊥AB，
AG⊥平面ABCDEF，
AB，AE，AG所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，

则：B（2，0，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），G（0，0，3），
$\overrightarrow{BC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BG}$=（-2，0，3），
设平面BCHG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{-2x+3z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，2），
∵平面DEH与y轴垂直，故其法向量可取为$\overrightarrow{j}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{j}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{j}丨丨\overrightarrow{n}丨}$=$\frac{-\sqrt{3}}{1×4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴平面BCHG与平面DEH所成二面角的正弦值$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的性质，线面垂直，考查面面角，考查法向量的运用，考查数形结合思想，属于中档题．