Question

16．已知函数f（x）=ax³+2x²-1有且只有两个零点，则实数a的取值集合（　　）

• A． {-1，0，1}
• B． {0，$\frac{4\sqrt{6}}{9}$}
• C． {0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$}
• D． {-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，0，$\frac{4\sqrt{6}}{9}$}

Answer 1

分析 当a=0时，函数f（x）=2x²-1有且只有两个零点，满足条件；当a≠0时，函数的极值为0，进而得到答案．

解答 解：当a=0时，函数f（x）=2x²-1有且只有两个零点，满足条件；
当a≠0时，令f′（x）=3ax²+4x=0，解得：x=0，或x=-$\frac{4}{3a}$，
∵f（0）=1≠0，
∴f（-$\frac{4}{3a}$）=$\frac{32}{27{a}^{2}}-1=0$，
解得：a=$±\frac{4\sqrt{6}}{9}$，
故a∈{-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，0，$\frac{4\sqrt{6}}{9}$}，
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数的零点及零点个数，分类讨论思想，难度中档．