Question

8．已知函数f（x）=ln（1+ax）+x²-ax（a为常数，a＞0）．
（1）若x=$\frac{1}{2}$是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）已知函数g（x）=x²-x+$\frac{7}{4}$-a，当a∈（0，1）时．存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（$\frac{1}{2}$）=0，求出a的值检验即可；
（2）问题转化为x₁，x₂∈[0，1]时，f（x）_max≥g（x）_max，根据函数的单调性分别求出f（x），g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$+2x-a，
若x=$\frac{1}{2}$是函数f（x）的一个极值点，
则f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2a}{a+2}$-a+1=0，解得：a=2或a=-1，
又a＞0，故a=2；
（2）存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）≥g（x₂）成立，
则x₁，x₂∈[0，1]时，f（x）_max≥g（x）_max，
f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$+2x-a=$\frac{x（2ax+2{-a}^{2}）}{1+ax}$，
∵a＞0，0≤x≤1，∴f′（x）≥0在[0，1]恒成立，
f（x）在[0，1]递增，f（x）_max=f（1）=ln（1+a）+1-a，
而g（x）=x²-x+$\frac{7}{4}$-a的对称轴是x=$\frac{1}{2}$，
故g（x）的最大值是f（0）=f（1）=$\frac{7}{4}$-a，
故ln（1+a）+1-a≥$\frac{7}{4}$-a，解得：a≥${e}^{\frac{3}{4}}$-1，
综上：${e}^{\frac{3}{4}}$-1≤a＜1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．